В треугольнике ABC: a = 7 см, b = 12 см, угол C = 65 градусов. Найдите третью сторону и площадь треугольника.

Дано: в треугольнике $ABC$ стороны $a=7$ см, $b=12$ см и угол $C=65^\circ$. По стандартному обозначению $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. Угол $C$ — это угол между сторонами $a$ и $b$, значит можно сразу применять теорему косинусов и формулу площади через две стороны и угол между ними.

1) Найдём третью сторону $c$

По теореме косинусов:

Подставим числа:

$\cos 65^\circ \approx 0{,}4226$, тогда:

Ответ: $\;c \approx 11{,}05$ см.

2) Найдём площадь треугольника

Площадь через две стороны и угол между ними:

Подставим:

$\sin 65^\circ \approx 0{,}9063$, тогда:

Ответ: $\;S \approx 38{,}06\ \text{см}^2.$

Итог

• Третья сторона: $\boxed{c \approx 11{,}05\ \text{см}}$

• Площадь: $\boxed{S \approx 38{,}06\ \text{см}^2}$