В равнобедренной трапеции диагонали являются биссектрисами её тупых углов. Найдите периметр трапеции, если длины оснований равны 5 см и 8 см.

Обозначим равнобедренную трапецию $ABCD$, где $AB \parallel CD$, причём

а боковые стороны равны:

Так как трапеция равнобедренная, короткое основание $CD$ расположено “по центру” над длинным $AB$. Разность оснований:

значит верхнее основание сдвинуто от каждого края на

1) Удобные координаты

Положим:

Тогда (из симметрии) верхние вершины:

где $h$ — высота трапеции.

Тогда длина боковой стороны:

2) Условие про биссектрису тупого угла

Тупые углы у равнобедренной трапеции — при вершинах $C$ и $D$ (у короткого основания $CD$). По условию диагональ $DB$ — биссектриса угла при $D$, то есть делит угол между сторонами $DC$ и $DA$ пополам.

Рассмотрим направления (векторы) из точки $D$:

• вдоль $DC$:

  $$\overrightarrow{DC} = (6{,}5-1{,}5,\;h-h)=(5,0),$$

  длина $DC=5$.

• вдоль $DA$:

  $$\overrightarrow{DA} = (0-1{,}5,\;0-h)=(-1{,}5,-h),$$

  длина $DA=l$.

• вдоль диагонали $DB$:

  $$\overrightarrow{DB} = (8-1{,}5,\;0-h)=(6{,}5,-h).$$

Свойство биссектрисы в векторной форме: направление внутренней биссектрисы пропорционально сумме единичных векторов вдоль сторон угла:

Вычислим:

Сумма: