В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки C и D, а на окружности другого основания — точки D₁ и F₁, причем DD₁ — образующая цилиндра, а отрезок CF₁ пересекает ось цилиндра. Найдите расстояние d от точки D до прямой CF₁, если CD=12, DD₁=15, D₁F₁=16. В ответе укажите значение выражения d√481.

Рассмотрим прямой круговой цилиндр (образующая перпендикулярна основанию), высота

Проецируем точки верхнего основания на нижнее вдоль образующих. Тогда точка $D_1$ проецируется в $D$, а точка $F_1$ — в некоторую точку $F$ на окружности нижнего основания. При параллельном переносе на высоту $h$ расстояния в плоскости основания сохраняются, значит

1) Используем условие пересечения оси

Пусть $O$ — центр нижнего основания, ось цилиндра — прямая $OO_1$. Точка пересечения отрезка $CF_1$ с осью означает, что прямая $CF_1$ проходит через некоторую точку оси, то есть через точку с горизонтальной проекцией $O$.

Параметрически точка на $CF_1$ имеет вид:

Её проекция на нижнее основание:

Чтобы попасть на ось, нужно, чтобы проекция была в центре $O$, то есть

Так как $|OC|=|OF|=R$ (радиус окружности), из этого следует, что $\vec{OF}=-\vec{OC}$, то есть точки $C$ и $F$ — диаметрально противоположные. Значит,

2) Найдём радиус $R$ по хордам $CD$ и $DF$

Точки $C,D,F$ лежат на одной окружности радиуса $R$, причём $F$ противоположна $C$. Удобно взять координаты в плоскости основания:

Тогда длина хорды

Отсюда

А

поэтому

Складываем квадраты: