точка D лежит на отрезке AB причём BD:BA=1:4.через точку А проведена плоскость а,через точку D-отрезок DD1 параллельный а.прямая BD1 пересекает плоскость а в точке с

а)Докажите подобие треугольника DBD1 и треугольника ABC

б)Найдите DD1 если AC=12см

Рассмотрим задачу подробно:

Дано:

1. Точка $D$ лежит на отрезке $AB$, причём $BD:BA = 1:4$.
2. Через точку $A$ проведена плоскость $\alpha$.
3. Через точку $D$ проведён отрезок $DD_1$, параллельный плоскости $\alpha$.
4. Прямая $BD_1$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $C$.
5. Длина $AC = 12$ см.

Требуется:

a) Доказать подобие треугольников $DBD_1$ и $ABC$.
b) Найти длину $DD_1$.

Решение:

Часть (а): Доказательство подобия треугольников $DBD_1$ и $ABC$

1. Отношение сторон $BD:BA$:
   По условию $BD:BA = 1:4$. Это означает, что точка $D$ делит отрезок $AB$ в отношении $1:3$ (поскольку $BA = BD + AD$).

2. Параллельность $DD_1 \parallel \alpha$:
   По условию отрезок $DD_1$ параллелен плоскости $\alpha$, а прямая $BD_1$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $C$. Следовательно, в плоскости $\alpha$ точки $A$ и $C$ связаны с точками $D$ и $D_1$ проекцией.

3. Общие углы:
   Треугольники $DBD_1$ и $ABC$ имеют общий угол при вершине $B$, так как прямая $BD_1$ проходит через точку $C$, лежащую в плоскости $\alpha$.

4. Отношение сторон:
   Так как $DD_1 \parallel \alpha$, проекция $DD_1$ на плоскость $\alpha$ масштабируется относительно точки $B$. Это означает, что отношение сторон $BD:BA$ сохраняется и для сторон $BD_1:BC$. Следовательно:

   $$\frac{BD}{BA} = \frac{BD_1}{BC}.$$

5. Заключение:
   По первому признаку подобия (один общий угол и пропорциональность сторон), треугольники $DBD_1$ и $ABC$ подобны.

Часть (б): Нахождение длины $DD_1$

1. Отношение сторон $BD:BA = 1:4$:
   Пусть длина отрезка $BA = x$. Тогда $BD = \frac{x}{4}$.

2. Подобие треугольников:
   Из подобия треугольников $DBD_1$ и $ABC$ следует, что коэффициент подобия равен $k = \frac{BD}{BA} = \frac{1}{4}$.

3. Длина $AC$:
   По условию $AC = 12$ см. В подобном треугольнике $DBD_1$ сторона $DD_1$ пропорциональна $AC$ с коэффициентом $k = \frac{1}{4}$:

   $$DD_1 = k \cdot AC = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3 \text{ см}.$$

Ответ:

a) Треугольники $DBD_1$ и $ABC$ подобны по первому признаку (общий угол и пропорциональность сторон).
b) Длина $DD_1 = 3$ см.