Точки E и F лежат соответственно н сторонах AD и BC параллелограмма ABCD AB=ED, BF:FC=4:3 . Выразить вектор EF через вектор m=AB и n=AD

Для решения задачи сначала обозначим важные моменты и свойства параллелограмма ABCD. В параллелограмме ABCD стороны AD и BC параллельны и равны по длине, как и стороны AB и CD. Мы знаем, что $AB = m$, $AD = n$, и $ED = AB$, что означает, что отрезок ED равен вектору AB.

Также нам дано соотношение $BF:FC = 4:3$. Это означает, что точка F делит отрезок BC на две части, где часть BF в 4 раза больше части FC. Можно выразить длины отрезков через одно общее значение. Пусть длина отрезка FC равна $x$, тогда BF будет равен $4x$. Таким образом, длина всего отрезка BC будет $BF + FC = 4x + x = 5x$.

Теперь рассмотрим векторные выражения для точек E и F.

1. Вектор точки E: Точка E находится на стороне AD, и по условию задачи $AE = AB = m$. Следовательно, вектор $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} = m$. Таким образом, точка E может быть выражена как:

   $$\overrightarrow{E} = \overrightarrow{A} + m$$

2. Вектор точки F: Точка F делит сторону BC. Поскольку $BF:FC = 4:3$, можно выразить F в виде вектора, используя соотношения длин отрезков. Точка F будет находиться на 4/7 длины отрезка BC, так как:

   $$\frac{BF}{BC} = \frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$$

   Таким образом, мы можем выразить вектор $\overrightarrow{F}$ следующим образом, учитывая, что $\overrightarrow{B}$ и $\overrightarrow{C}$ определяются через векторы m и n:

   $$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{B} + \frac{4}{7} (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{B} + \frac{4}{7} \cdot (m + n - m) = \overrightarrow{B} + \frac{4}{7} n$$

Теперь, чтобы выразить вектор $\overrightarrow{EF}$, мы можем воспользоваться формулой:

Подставив значения:

Поскольку $\overrightarrow{B} = \overrightarrow{A} + m$ (вектор A + вектор AB), подставим это:

Упрощая, получаем:

Таким образом, вектор $\overrightarrow{EF}$