1) Точки А и В лежат соответственно на сторонах NK и KP трапеции MNKP так, что NA=AK, 2KB = BP. Выразить векторы MA,MB,AB через векторы a = MN( вектор)и b=MP(вектор) , если известно, что основание NK равно половине MP.

Для решения задачи на векторы в трапеции MNKP, где NK = 1/2 MP, точки A и B лежат на сторонах NK и KP, и удовлетворяют условиям NA = AK и 2KB = BP, разберем решение подробно.

Шаг 1: Определим условия и обозначения

• Пусть вектор a = MN и b = MP.
• Трапеция MNKP такова, что NK = (1/2) MP. Это значит, что длина отрезка NK в два раза меньше длины отрезка MP.
• Точки A и B делят стороны NK и KP следующим образом:
  • NA = AK (точка A делит NK пополам).
  • 2KB = BP (точка B делит KP в отношении 2:1).

Шаг 2: Найдем векторы MA и MB

1. Вектор MA:

   • Точка A делит отрезок NK пополам. Таким образом, вектор NA равен половине вектора NK: $$\overrightarrow{NA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{NK}.$$
   • Поскольку NK — это часть вектора b (поскольку MP = b и NK = (1/2)MP): $$\overrightarrow{NK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{b}.$$
   • Тогда вектор NA становится: $$\overrightarrow{NA} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \overrightarrow{b} = \frac{1}{4} \overrightarrow{b}.$$
   • Вектор MA равен сумме MN и NA: $$\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NA} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{4} \overrightarrow{b}.$$

2. Вектор MB:

   • Точка B делит KP в отношении 2:1, что означает: $$\overrightarrow{KB} = \frac{2}{3} \overrightarrow{KP}.$$
   • Поскольку KP является частью вектора b (MP = b и KP = b): $$\overrightarrow{KP} = \overrightarrow{b}.$$
   • Таким образом, вектор KB становится: $$\overrightarrow{KB} = \frac{2}{3} \overrightarrow{b}.$$
   • Вектор MB равен сумме MN и NB, где NB = NK + KB: $$\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NB} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{NK} + \overrightarrow{KB}.$$
   • Подставим NK = (1/2)b и KB = (2/3)b: $$\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} + \frac{2}{3} \overrightarrow{b}.$$
   • Приведем к общему знаменателю и упростим: $$\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{a} + \left(\frac{1}{2} + \frac{2}{3}\right) \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + \frac{7}{6} \overrightarrow{b}.$$

Шаг 3: Найдем вектор AB