Внутри треугольника АВС взята точка Д так что угол ВДА= углу ВДС , угол ДАС=углу ДСА.Докажите что треугольник АВС равнобедреный

Для доказательства того, что треугольник ABC является равнобедренным, если внутри него выбрана точка D, такая что угол BDA равен углу BDC, и угол DAC равен углу DCA, мы можем воспользоваться свойствами углов и треугольников.

1. Обозначим углы: Пусть угол BDA = угол BDC = x и угол DAC = угол DCA = y.

2. Изучим углы треугольника ABC: В треугольнике ABC сумма углов равна 180 градусам:

   $$\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ$$

3. Используем углы с точкой D: Рассмотрим треугольники ABD и ACD:

   • В треугольнике ABD сумма углов также равна 180 градусам:

     $$\angle ABD + \angle ADB + \angle BDA = 180^\circ$$

     Подставляем известные углы:

     $$\angle ABD + \angle ADB + x = 180^\circ$$

   • В треугольнике ACD:

     $$\angle ACD + \angle ADC + \angle DAC = 180^\circ$$

     Также подставляем известные углы:

     $$\angle ACD + \angle ADC + y = 180^\circ$$

4. Выразим углы ABC и ACB:

   • Из первого уравнения для треугольника ABD: $$\angle ABD + \angle ADB = 180^\circ - x$$
   • Из второго уравнения для треугольника ACD: $$\angle ACD + \angle ADC = 180^\circ - y$$

5. Сравним углы ABC и ACB: Угол ABC равен углу ABD (из-за общей стороны AD), а угол ACB равен углу ACD. Теперь можем записать:

   $$\angle ABC = \angle ABD$$ $$\angle ACB = \angle ACD$$

6. Угловые равенства: У нас есть:

   $$\angle BDA = \angle BDC \quad \text{(x)}$$ $$\angle DAC = \angle DCA \quad \text{(y)}$$

   Это говорит о том, что углы, противостоящие к сторонам AB и AC, равны.

7. Заключение: Если $\angle ABC = \angle ACB$, то треугольник ABC является равнобедренным по определению. Таким образом, мы доказали, что треугольник ABC является равнобедренным, основываясь на заданных условиях.

Это завершает доказательство.