Сумма диагоналей ромба 62см, а их разность 34 см. Найти радиус вписанной в ромб круга

Чтобы найти радиус круга, вписанного в ромб, при условии, что сумма диагоналей равна $62$ см, а их разность равна $34$ см, воспользуемся следующими шагами:

1. Обозначим диагонали ромба через $d_1$ и $d_2$. Из условия задачи имеем:

   $$d_1 + d_2 = 62$$ $$d_1 - d_2 = 34$$

2. Решим систему уравнений для нахождения длин диагоналей $d_1$ и $d_2$. Складывая и вычитая эти уравнения, получим:

   $$d_1 = \frac{(62 + 34)}{2} = 48 \, \text{см}$$ $$d_2 = \frac{(62 - 34)}{2} = 14 \, \text{см}$$

   Таким образом, диагонали ромба равны $d_1 = 48$ см и $d_2 = 14$ см.

3. Найдем площадь ромба. Площадь ромба $S$ можно выразить через диагонали следующим образом:

   $$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$$

   Подставляем найденные значения:

   $$S = \frac{48 \cdot 14}{2} = 336 \, \text{см}^2$$

4. Рассчитаем радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности $r$ в ромб можно найти по формуле:

   $$r = \frac{S}{P}$$

   где $P$ — периметр ромба.

5. Найдем сторону ромба. Поскольку ромб — это четырёхугольник с равными сторонами, его стороны можно определить через диагонали. Каждая сторона ромба $a$ равна половине длины диагонали между противоположными углами:

   $$a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}$$

   Подставляем значения $d_1 = 48$ и $d_2 = 14$:

   $$a = \sqrt{\left(\frac{48}{2}\right)^2 + \left(\frac{14}{2}\right)^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25 \, \text{см}$$

6. Находим периметр ромба. Так как все стороны ромба равны, его периметр $P$ равен:

   $$P = 4 \cdot a = 4 \cdot 25 = 100 \, \text{см}$$

7. Находим радиус вписанной окружности:

   $$r = \frac{S}{P} = \frac{336}{100} = 3,36 \, \text{см}$$

Ответ: радиус вписанной в ромб окружности равен $3,36$ см.