Сторона ромба равна 8 ,а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 2 .найдите площадь этого ромба

Давайте разберёмся, как найти площадь ромба, если известны его сторона и расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из вершин.

1. Запишем известные данные:

   • Сторона ромба, обозначим её как $a = 8$.
   • Расстояние от точки пересечения диагоналей до вершины ромба, обозначим его как $h = 2$.

2. Понимание геометрии ромба:

   • Ромб обладает свойством, что его диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.
   • Если обозначить диагонали ромба как $d_1$ и $d_2$, то точка их пересечения делит каждую диагональ на две равные части. Это значит, что половины диагоналей равны $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

3. Используем данное расстояние:

   • Данное расстояние от точки пересечения диагоналей до вершины ромба является половиной одной из диагоналей. Поэтому, можно записать: $$\frac{d_1}{2} = 2 \Rightarrow d_1 = 4$$
   • То есть, первая диагональ ромба равна $d_1 = 4$.

4. Найдём вторую диагональ:

   • Известно, что стороны ромба равны, поэтому можем воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба.
   • Половина второй диагонали обозначим как $\frac{d_2}{2} = x$.
   • Тогда по теореме Пифагора для треугольника с катетами $\frac{d_1}{2} = 2$ и $x$, и гипотенузой $a = 8$, получаем: $$x^2 + 2^2 = 8^2$$ $$x^2 + 4 = 64$$ $$x^2 = 60$$ $$x = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$$
   • Следовательно, вторая диагональ равна $d_2 = 2x = 4\sqrt{15}$.

5. Вычислим площадь ромба:

   • Площадь ромба можно найти по формуле через диагонали: $$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$$
   • Подставляем значения диагоналей: $$S = \frac{4 \cdot 4\sqrt{15}}{2} = 2 \cdot 4\sqrt{15} = 8\sqrt{15}$$

Итак, площадь ромба равна $8\sqrt{15}$ квадратных единиц.