Стороны АВ, ВС и АС треугольника соответственно равны 5 см, 4 см и 8 см. Найдите длину вектора СА + АВ ​

Для нахождения длины вектора $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}$ в треугольнике с заданными сторонами $AB = 5$ см, $BC = 4$ см и $AC = 8$ см, начнем с определения положения точек и векторов.

1. Определим точки:

   • Обозначим точки треугольника: $A$, $B$, $C$.
   • Пусть точка $A$ находится в начале координат: $A(0, 0)$.
   • Для точки $B$ находим координаты, зная длину $AB$:
     • $B(5, 0)$ (так как $AB = 5$ см по горизонтали).

2. Найдем координаты точки $C$:

   • Сначала используем длину $AC$ (8 см) и запишем уравнения для координат $C(x, y)$:
     • $AC: \sqrt{x^2 + y^2} = 8$ (так как $C$ от $A$).
     • $BC: \sqrt{(x - 5)^2 + y^2} = 4$ (так как $C$ от $B$).

   Разложим эти уравнения:

   • Из уравнения $AC$ получаем: $$x^2 + y^2 = 64 \quad (1)$$
   • Из уравнения $BC$ получаем: $$(x - 5)^2 + y^2 = 16 \quad (2)$$

   Раскроем уравнение (2):

   $$x^2 - 10x + 25 + y^2 = 16$$

   Подставим $y^2 = 64 - x^2$ из уравнения (1):

   $$x^2 - 10x + 25 + (64 - x^2) = 16$$

   Упростим:

   $$-10x + 89 = 16$$ $$-10x = -73 \implies x = 7.3$$

   Подставляем $x$ обратно в (1):

   $$(7.3)^2 + y^2 = 64$$ $$53.29 + y^2 = 64 \implies y^2 = 10.71 \implies y \approx 3.27$$

   Таким образом, точка $C$ имеет координаты $C(7.3, 3.27)$.

3. Векторы: Теперь найдем векторы $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{AB}$:

   • $\overrightarrow{CA} = A - C = (0 - 7.3, 0 - 3.27) = (-7.3, -3.27)$
   • $\overrightarrow{AB} = B - A = (5 - 0, 0 - 0) = (5, 0)$

4. Сложение векторов: Теперь сложим векторы:

   $$\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = (-7.3 + 5, -3.27 + 0) = (-2.3, -3.27)$$

5. Длина вектора: Наконец, найдем длину полученного вектора:

   $$\text{Длина} = \sqrt{(-2.3)^2 + (-3.27)^2} = \sqrt{5.29 + 10.71} = \sqrt{16} = 4$$