В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=15, АН — высота, ВН=3. Найти cosBAC.

Дано: в треугольнике $ABC$ выполнено $AC=BC$, $AB=15$. $AH$ — высота, то есть $AH \perp BC$, точка $H$ лежит на $BC$. Известно $BH=3$. Нужно найти $\cos\angle BAC$.

1) Используем прямоугольный треугольник $ABH$.
Так как $AH \perp BC$, а $BH\subset BC$, то $\angle AHB = 90^\circ$. Значит, треугольник $ABH$ прямоугольный, гипотенуза $AB=15$, катет $BH=3$.

По теореме Пифагора:

2) Найдём сторону $BC$.
Обозначим $BC=x$. Тогда $CH = BC - BH = x-3$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$: он тоже прямоугольный при $H$, и

Но по условию $AC=BC$, то есть $AC=x$. Подставляем:

Сокращаем $x^2$:

Значит,

3) Находим $\cos\angle BAC$ по теореме косинусов.
Угол $\angle BAC$ — это угол при вершине $A$. Против него лежит сторона $BC$. Тогда:

Но $AC=BC$, поэтому $AC^2-BC^2=0$, и формула упрощается:

Подставляем $AB=15$, $AC=\frac{75}{2}$: