На основании BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки M и N так, что BM = CN. Докажите, что: а) ΔBAM = ΔCAN; б) треугольник AMN равнобедренный.

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ основание — $BC$, значит боковые стороны равны:

На основании $BC$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что

Нужно доказать:

1. $\triangle BAM = \triangle CAN$;

2. треугольник $AMN$ равнобедренный.

а) Докажем, что $\triangle BAM = \triangle CAN$

Так как точки $M$ и $N$ лежат на основании $BC$, то лучи $BM$, $BC$, $BN$ лежат на одной прямой, и аналогично $CN$, $CB$, $CM$ лежат на той же прямой.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны:

Но поскольку $M$ лежит на $BC$, угол $\angle ABM$ совпадает с углом $\angle ABC$.
А так как $N$ лежит на $BC$, угол $\angle ACN$ совпадает с углом $\angle ACB$.

Следовательно,

Теперь имеем:

• $AB = AC$ — как боковые стороны равнобедренного треугольника;

• $BM = CN$ — по условию;

• $\angle ABM = \angle ACN$.

Значит, треугольники $BAM$ и $CAN$ равны по двум сторонам и углу между ними.

Что и требовалось доказать.

б) Докажем, что треугольник $AMN$ равнобедренный

Из равенства треугольников $\triangle BAM$ и $\triangle CAN$ следуют равенства соответствующих сторон:

А если в треугольнике две стороны равны, то он равнобедренный.

Следовательно, треугольник $AMN$ равнобедренный.

Итог

• $\triangle BAM = \triangle CAN$, так как у них равны две стороны и угол между ними:

  $$AB = AC,\quad BM = CN,\quad \angle ABM = \angle ACN;$$

• из равенства этих треугольников получаем:

  $$AM = AN,$$

  значит, $\triangle AMN$ равнобедренный.

Доказано.