Две стороны треугольника равны 6 и 8 см. Медианы, проведённые к этим сторонам, взаимно перпендикулярны. Найти третью сторону треугольника.

Давай разберём задачу шаг за шагом.

Дано: треугольник $ABC$ с сторонами $AB = c$, $AC = b = 6$, $BC = a = 8$. Медианы к сторонам $AC$ и $BC$ взаимно перпендикулярны. Нужно найти третью сторону $AB = x$.

Шаг 1: Вспомним формулу медианы

Медиана к стороне $a$ (противоположной вершине $A$) имеет длину:

где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника.

Назовём:

• $m_b$ — медиана к стороне $AC = 6$, проведённая из вершины $B$

• $m_c$ — медиана к стороне $BC = 8$, проведённая из вершины $C$

Тогда:

Шаг 2: Условие перпендикулярности медиан

Если медианы $m_b$ и $m_c$ перпендикулярны, то можно использовать векторный подход. Пусть вершина $A$ в начале координат, $C$ на оси $x$.

• $A = (0,0)$

• $C = (6,0)$ (так как $AC = 6$)

• $B = (x,y)$ неизвестно

Медиана к $AC$ из вершины $B$ идёт к середине $AC$:

Вектор медианы $BM = M - B = (3 - x, 0 - y) = (3 - x, -y)$

Медиана к $BC$ из вершины $A$ идёт к середине $BC$:

Вектор медианы $AN = N - A = (\frac{x+6}{2}, \frac{y}{2})$

Перпендикулярность означает, что скалярное произведение равно нулю:

Подставляем координаты: