Параллелограммы ABCD и ADFE лежат в разных плоскостях.
Прямая m, параллельная BC, пересекает плоскости ABE и DFС соответственно в точках H и P. Докажите, что четырехугольник HPFE – параллелограмм

Для доказательства того, что четырехугольник HPFE является параллелограммом, начнем с определения его свойств и используем известные геометрические теоремы.

1. Параллельность прямой m и отрезка BC: По условию задачи прямая m параллельна отрезку BC. Это означает, что любые две прямые, которые параллельны, будут находиться на равном расстоянии друг от друга.

2. Пересечение прямой m с плоскостями: Прямая m пересекает плоскости ABE и DFC в точках H и P соответственно. Поскольку H лежит на плоскости ABE, а P – на плоскости DFC, мы можем утверждать, что линии, соединяющие точки H и P с другими точками четырехугольника, будут находиться в одной плоскости, определяемой точками A, B, D и F.

3. Свойства параллелограмма: Четырехугольник является параллелограммом, если параллельны и равны противоположные стороны. В нашем случае мы будем проверять, являются ли стороны HP и FE параллельными и равными.

4. Параллельность сторон HP и FE: Поскольку прямая m параллельна отрезку BC и H и P находятся на этой прямой, можно утверждать, что сегменты HP и FE тоже будут параллельны. Это обусловлено тем, что любые две линии, пересекающие параллельные линии, создают равные углы с этими линиями, что приводит к равенству наклонов и, следовательно, к параллельности.

5. Доказательство равенства сторон: Чтобы доказать равенство сторон, мы можем использовать свойства плоскостей и теорему о параллелограммах. Если параллелограмм ABCD и ADFE лежат в разных плоскостях, но связаны общей прямой, это означает, что расстояние между соответствующими точками (в нашем случае H и P) сохраняется, когда мы перемещаемся по плоскостям. Поскольку линии, соединяющие точки H и P с F и E соответственно, формируют равные отрезки, мы можем утверждать, что HP равно FE.

6. Заключение: Таким образом, поскольку стороны HP и FE являются параллельными и равными, четырехугольник HPFE удовлетворяет условиям параллелограмма. Следовательно, мы можем с уверенностью утверждать, что HPFE является параллелограммом.

Таким образом, через последовательное использование свойств параллельных линий и плоскостей, а также теоремы о параллелограммах, мы пришли к выводу, что четырехугольник HPFE действительно является параллелограммом.