Дан куб ABCDA1B1C1D1 , ребро которого равно 10. Найдите периметр и площадь сечения А1С1К, если D1K=KD.

Для того чтобы решить задачу, сначала построим сечение, которое проходит через точки $A_1$, $C_1$ и точку $K$ на ребре $D_1D$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $D_1K = KD$.

Шаг 1: Определение точки $K$

1. Так как точка $K$ находится на отрезке $D_1D$ и делит его пополам ($D_1K = KD$), она является средней точкой этого ребра. Поскольку ребро куба равно $10$, длина отрезка $D_1K = KD = \frac{10}{2} = 5$.

Шаг 2: Построение сечения $A_1C_1K$

2. Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через точки $A_1$, $C_1$ и $K$. Эта плоскость будет пересекать куб, образуя сечение.

3. Поскольку точки $A_1$ и $C_1$ расположены на противоположных вершинах верхней грани куба, отрезок $A_1C_1$ является его диагональю. Длина диагонали грани куба равна $10\sqrt{2}$, так как:

   $$A_1C_1 = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}.$$

4. Точка $K$ делит ребро $D_1D$ пополам, и ее координаты будут серединами между координатами $D_1$ и $D$.

Шаг 3: Определение типа сечения

5. Сечение куба плоскостью $A_1C_1K$ образует треугольник, так как плоскость проходит через три точки, не лежащие на одной прямой. Таким образом, сечение — это треугольник $A_1C_1K$.

Шаг 4: Найдём длины сторон треугольника

6. Мы уже нашли, что длина стороны $A_1C_1 = 10\sqrt{2}$.

7. Теперь найдем длину стороны $A_1K$. Так как $K$ — середина $D_1D$, расстояние от $A_1$ до $K$ можно найти, используя координаты или прямое геометрическое представление:

   • $A_1K = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}.$

8. Аналогично находим длину стороны $C_1K$:

   • $C_1K = \sqrt{10^2 + 5^2} = 5\sqrt{5}.$

Шаг 5: Найдём периметр треугольника $A_1C_1K$

9. Периметр треугольника равен сумме его сторон: $$P = A_1C_1 + A_1K + C_1K = 10\sqrt{2} + 5\sqrt{5} + 5\sqrt{5} = 10\sqrt{2} + 10\sqrt{5}.$$