При каких n из перечисленных ниже выпуклый n-угольник может иметь центр симметрии? 10

11

12

13

14

15

Выпуклый $n$-угольник может иметь центр симметрии, если при его вращении на угол $\frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$ он совпадает сам с собой. Это свойство означает, что фигура должна быть симметричной относительно своей центральной точки. Для выпуклых многоугольников центр симметрии существует только тогда, когда количество сторон $n$ является четным. Это связано с тем, что для возникновения центра симметрии необходимо, чтобы противоположные стороны и углы совпадали.

Теперь рассмотрим предложенные значения для $n$:

• $n = 10$: Это четное число. Десятиугольник может быть симметричным относительно центра, так как каждая пара противоположных сторон может совпадать при повороте на 180°.
• $n = 11$: Это нечетное число. Одиннадцатиугольник не может иметь центр симметрии, так как противоположных пар сторон не может быть, и фигура не совпадет с собой при повороте на 180°.
• $n = 12$: Это четное число. Двенадцатиугольник может иметь центр симметрии, так как пары противоположных сторон будут совпадать при повороте.
• $n = 13$: Это нечетное число. Тринадцатиугольник не может быть симметричным относительно центра по аналогичной причине: при нечетном количестве сторон противоположных пар не образуется.
• $n = 14$: Это четное число. Четырнадцатиугольник может иметь центр симметрии, так как противоположные стороны совпадут при повороте.
• $n = 15$: Это нечетное число, поэтому пятнадцатиугольник не может иметь центр симметрии.

Таким образом, из перечисленных значений центр симметрии могут иметь только многоугольники с $n = 10$, $n = 12$ и $n = 14$.