В прямоугольном неравнобедренном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведены высота СН, медиана СМ и биссектриса СL. а) Докажите, что CL является биссектрисой угла МСН. б) Найдите длину биссектрисы CL, если СН=3, СМ=5

а) Обозначим катеты прямоугольного треугольника через \( AC=b \), \( BC=a \). Расположим треугольник так, чтобы вершина \( C \) была в начале координат, а катеты лежали на осях.

Точка \( M \) — середина гипотенузы, поэтому направление луча \( CM \) задаётся отношением \( \frac{a}{b} \). Высота \( CH \) перпендикулярна гипотенузе, поэтому её направление задаётся отношением \( \frac{b}{a} \).

Углы этих лучей с катетом \( AC \) равны \( \arctan\frac{a}{b} \) и \( \arctan\frac{b}{a} \). Их сумма равна \( 90^\circ \). Значит, луч, идущий под углом \( 45^\circ \), делит угол между \( CM \) и \( CH \) пополам.

Но \( CL \) — биссектриса прямого угла \( C \), значит она как раз идёт под углом \( 45^\circ \). Следовательно, \( CL \) является биссектрисой угла \( MCH \).

б) В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы:

\[ CM=\frac{AB}{2} \]

Так как \( CM=5 \), то:

\[ AB=10 \]

Высота к гипотенузе равна:

\[ CH=\frac{AC\cdot BC}{AB} \]

По условию \( CH=3 \), значит:

\[ AC\cdot BC=3\cdot10=30 \]

Также:

\[ AC^2+BC^2=AB^2=100 \]

Тогда:

\[ (AC+BC)^2=AC^2+BC^2+2AC\cdot BC=100+60=160 \]

\[ AC+BC=4\sqrt{10} \]

Длина биссектрисы прямого угла:

\[ CL^2=AC\cdot BC\left(1-\frac{AB^2}{(AC+BC)^2}\right) \]

Подставим данные:

\[ CL^2=30\left(1-\frac{100}{160}\right)=30\cdot\frac{3}{8}=\frac{45}{4} \]

\[ CL=\frac{3\sqrt5}{2} \]

Ответ: \( CL=\frac{3\sqrt5}{2} \).

0 0 Пожаловаться