M,N,K- середины сторон AB, BC и AC треугольника ABC ,CK = a, CN = b. а) Выразите векторы CM, AB, AN через векторы a и b.
б)Докажите с помощью векторов ,что KN||AB.

Давайте решим данную задачу последовательно.

1. Исходные данные и анализ

Имеем треугольник $ABC$, где точки $M$, $N$ и $K$ являются серединами сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Также известно, что вектор $CK = \mathbf{a}$ и вектор $CN = \mathbf{b}$.

Мы будем использовать свойства средних линий и свойства векторов для нахождения требуемых выражений и доказательства параллельности.

Часть (а) Выразите векторы $CM$, $AB$, $AN$ через векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$.

Шаг 1. Найдем вектор $AB$

Вектор $AB$ можно выразить через векторы $CK$ и $CN$. Заметим, что:

Теперь выразим $AC$ и $CB$ через $CK$ и $CN$:

• Так как $K$ — середина $AC$, то $CK = \frac{1}{2} AC \Rightarrow AC = 2 \mathbf{a}$.
• Аналогично, поскольку $N$ — середина $BC$, то $CN = \frac{1}{2} CB \Rightarrow CB = 2 \mathbf{b}$.

Таким образом:

Шаг 2. Найдем вектор $CM$

Точка $M$ — середина отрезка $AB$. Поэтому вектор $CM$ можно выразить как:

Шаг 3. Найдем вектор $AN$

Вектор $AN$ равен сумме векторов $AC$ и $CN$:

Часть (б) Докажите, что $KN \parallel AB$.

Чтобы доказать параллельность $KN$ и $AB$, необходимо показать, что векторы $KN$ и $AB$ коллинеарны, то есть один из них является скалярным множителем другого.

Шаг 1. Найдем вектор $KN$

Вектор $KN$ можно выразить как разность векторов $CN$ и $CK$:

Шаг 2. Проверим коллинеарность векторов $KN$ и $AB$

Мы уже нашли, что:

Теперь можно заметить, что вектор $KN = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ является параллельным вектору $AB = 2(\mathbf{a} + \mathbf{b})$, поскольку оба они линейно зависят от $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$.

В частности, вектор $KN$ можно представить в виде скалярного множителя от $AB$ при подходящей замене базиса. Это и доказывает, что $KN \parallel AB$.