В равнобокой трапеции ABCD с периметром 33 см BK ⊥ AD, ∠ABC = 120°, AB = 7 см. Найдите основание BC. (BK — высота.)

Дано: равнобокая трапеция \( ABCD \), \( AB = CD = 7 \) см, периметр \( P = 33 \) см, \( \angle ABC = 120^\circ \), \( BK \perp AD \) — высота.

Обозначим \( BC = x \), \( AD = y \). Тогда \( P = AB + BC + CD + AD = 7 + x + 7 + y = 14 + x + y = 33 \), откуда \( x + y = 19 \).

В равнобокой трапеции углы при основании равны: \( \angle BAD = \angle CDA \). Сумма углов трапеции \( 360^\circ \), поэтому \( \angle BAD = \angle CDA = \frac{360^\circ - 2 \cdot 120^\circ}{2} = 60^\circ \).

В прямоугольном треугольнике \( ABK \) (\( \angle BAK = 60^\circ \)) гипотенуза \( AB = 7 \) см. Тогда \( AK = AB \cdot \cos 60^\circ = 7 \cdot 0{,}5 = 3{,}5 \) см. Аналогично, если опустить высоту \( CL \) из точки \( C \) на \( AD \), то \( LD = 3{,}5 \) см.

Отрезок \( KL \) равен верхнему основанию \( BC = x \). Тогда \( AD = AK + KL + LD = 3{,}5 + x + 3{,}5 = x + 7 \), то есть \( y = x + 7 \).

Подставляем в \( x + y = 19 \): \( x + (x + 7) = 19 \), \( 2x = 12 \), \( x = 6 \).

Ответ: \( BC = 6 \) см.

0 0 Пожаловаться