1. Один из углов параллелограмма на 50 градусов меньше другого. Найдите все углы параллелограмма. 2. Биссектриса угла прямоугольника делит его сторону на две части, каждая из которых равна 5 см. Найдите периметр прямоугольника.
3. Периметр ромба равен 40 см., а один из его углов равен 60 градусов. Найдите длину диагонали, противолежащей этому углу.

Сделайте с чертежами

1. Задача о параллелограмме

У нас есть параллелограмм, в котором один угол на 50 градусов меньше другого. Необходимо найти все углы параллелограмма.

Решение: Параллелограмм имеет две пары противоположных углов, которые равны между собой. Пусть один угол параллелограмма обозначен как $\alpha$, а второй угол $\beta$. Согласно условиям задачи, угол $\beta$ на 50 градусов больше угла $\alpha$, то есть:

В параллелограмме сумма углов, прилежащих друг к другу, всегда равна 180 градусов. То есть:

Подставим выражение для $\beta$ из первого уравнения:

Упростим:

Вычтем 50 из обеих сторон:

Теперь разделим на 2:

Таким образом, угол $\alpha$ равен 65 градусов. Тогда угол $\beta$, который на 50 градусов больше, будет равен:

Ответ: углы параллелограмма равны 65° и 115°.

2. Задача о прямоугольнике с биссектрисой

В прямоугольнике биссектриса одного из углов делит его сторону на две части, каждая из которых равна 5 см. Необходимо найти периметр прямоугольника.

Решение: Пусть прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$, где $a$ — это длина одной стороны, а $b$ — длина другой стороны. Рассмотрим угол прямоугольника $90^\circ$, к которому проведена биссектриса. Она делит угол пополам, и так как биссектриса делит сторону на две равные части, то одна из сторон прямоугольника будет делиться на две части по 5 см каждая.

Это означает, что одна из сторон прямоугольника (пусть это будет сторона $b$) имеет длину 10 см (поскольку биссектриса делит её на две равные части по 5 см).

Далее, используя свойства прямоугольника, можно найти длину другой стороны $a$. В прямоугольнике биссектриса угла делит противоположные стороны пропорционально, и если одна из сторон равна 10 см, то другая сторона тоже будет равна 10 см.

Таким образом, прямоугольник является квадратом, где обе стороны равны 10 см.

Теперь, чтобы найти периметр прямоугольника (в данном случае квадрата), используем формулу для периметра:

Подставляем значения:

Ответ: периметр прямоугольника (квадрата) равен 40 см.

3. Задача о ромбе

Периметр ромба равен 40 см, и один из углов ромба равен 60 градусов. Необходимо найти длину диагонали, противолежащей этому углу.

Решение: В ромбе все стороны равны между собой, и периметр ромба равен 40 см. Поскольку периметр — это сумма всех сторон ромба, а их четыре, то длина каждой стороны $a$ будет:

Ромб можно разделить на два равных прямоугольных треугольника с помощью диагоналей, которые пересекаются под прямым углом. Пусть одна из диагоналей ромба будет $d_1$, а другая — $d_2$. Задача состоит в том, чтобы найти длину диагонали, противолежащей углу 60°.

Из геометрии ромба известно, что угол между диагоналями ромба равен 90°, и диагонали делят углы ромба пополам. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, можно применить теорему Пифагора.

Половина диагонали $d_1$ будет равна $\frac{d_1}{2}$, и она будет противоположной стороне с углом 60°, а половина диагонали $d_2$ — прилежащей стороне.

Используя синус угла 60°, мы можем выразить половину диагонали $d_2$ через сторону ромба:

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

Умножим обе стороны на 10:

Это дает:

Ответ: длина диагонали, противолежащей углу 60°, равна примерно 17,32 см.