Периметр квадрата,описанного около окружности,равен 32см. Найдите сторону правильного треугольника,вписанного в ту же окружность.

Для решения этой задачи нам нужно понять связь между квадратом, описанным вокруг окружности, и правильным треугольником, вписанным в эту же окружность.

1. Определение размера окружности с помощью квадрата: Периметр квадрата равен 32 см, что означает, что каждая его сторона равна 32 см / 4 = 8 см. Диаметр окружности, описанной вокруг квадрата, равен длине стороны квадрата. Следовательно, диаметр окружности равен 8 см.

2. Расчет радиуса окружности: Радиус окружности равен половине диаметра, то есть 8 см / 2 = 4 см.

3. Нахождение стороны правильного треугольника, вписанного в окружность: В правильном треугольнике, вписанном в окружность, радиус окружности равен расстоянию от центра окружности до одной из вершин треугольника. Это расстояние также является высотой треугольника, проведенной к его основанию.

   Для правильного треугольника, если обозначить его сторону как $a$ и высоту как $h$, существует следующее соотношение: $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a$

   Так как радиус окружности $r = 4$ см также является высотой треугольника, мы имеем: $4 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a$

   Решив это уравнение относительно $a$, мы найдем длину стороны вписанного треугольника: $a = \frac{4 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$

4. Упрощение ответа: Мы можем упростить выражение $\frac{8}{\sqrt{3}}$ путем умножения числителя и знаменателя на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррационального числа в знаменателе. Таким образом, получаем: $a = \frac{8\sqrt{3}}{3}$

Итак, длина стороны правильного треугольника, вписанного в данную окружность, составляет $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.