в треугольнике АВС АВ=ВС, АС=6, синус АСВ=3/5. Найдите высоту СН

Дано: \(AB = BC\), \(AC = 6\), \(\sin \angle ACB = \frac{3}{5}\). Нужно найти высоту \(CH\), опущенную из вершины \(C\) на сторону \(AB\).

Так как \(AB = BC\), треугольник равнобедренный, его основание — \(AC\). Угол \(C\) острый, поэтому:

\[\cos C = \frac{4}{5}\]

Обозначим \(AB = BC = x\). По теореме косинусов:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\]

\[x^2 = 6^2 + x^2 - 2 \cdot 6 \cdot x \cdot \frac{4}{5}\]

\[0 = 36 - \frac{48x}{5}\]

\[x = \frac{15}{4}\]

Площадь треугольника можно найти двумя способами:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin C\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{15}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{27}{4}\]

Также:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\]

\[\frac{27}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4} \cdot CH\]

\[CH = \frac{18}{5}\]

Ответ: \(CH = \frac{18}{5}\), или \(3{,}6\).

0 0 Пожаловаться