Докажите, что если a, b, c — длины сторон треугольника, а m — длина медианы треугольника, проведённой к стороне длины c, то справедливо следующее равенство: m = 0,5√(2a²+2b²-c²)

Пусть медиана \( m \) проведена к стороне \( c \). Она делит эту сторону пополам, значит каждая часть равна \( \frac{c}{2} \).

Обозначим угол между сторонами \( a \) и \( c \) через \( \alpha \). Тогда по теореме косинусов для стороны \( b \):

\[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\alpha \]

Теперь рассмотрим треугольник со сторонами \( a \), \( m \) и \( \frac{c}{2} \). По теореме косинусов:

\[ m^2 = a^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 - 2a\cdot\frac{c}{2}\cos\alpha \]

То есть:

\[ m^2 = a^2 + \frac{c^2}{4} - ac\cos\alpha \]

Из формулы для \( b^2 \):

\[ 2ac\cos\alpha = a^2 + c^2 - b^2 \]

Значит:

\[ ac\cos\alpha = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2} \]

Подставим:

\[ m^2 = a^2 + \frac{c^2}{4} - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2} \]

Приведём к общему виду:

\[ m^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4} \]

Берём корень:

\[ m = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2} \]

Что и требовалось доказать.

0 0 Пожаловаться