Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её высота равна 7 см, а периметр- 30 см. найдите боковую сторону трапеции.

Для решения задачи начнем с анализа данной равнобокой трапеции. Мы знаем следующие данные:

1. Диагонали трапеции перпендикулярны.
2. Высота трапеции $h = 7$ см.
3. Периметр трапеции $P = 30$ см.

Необходимо найти длину боковой стороны $a$ трапеции.

Шаг 1. Свойства равнобокой трапеции

Равнобокая трапеция имеет равные боковые стороны. Пусть:

• $a$ — боковая сторона (их две),
• $b$ и $c$ — основания трапеции (меньшее и большее соответственно).

Периметр равнобокой трапеции равен:

Подставим известное значение $P = 30$:

Отсюда:

Шаг 2. Перпендикулярность диагоналей

Если диагонали трапеции перпендикулярны, то площадь трапеции $S$ можно выразить как половину произведения длин её диагоналей. С другой стороны, площадь трапеции выражается через основания и высоту:

Подставим $h = 7$:

Шаг 3. Геометрические соотношения

Перпендикулярность диагоналей также означает, что диагонали равнобокой трапеции можно разделить на 4 прямоугольных треугольника, в которых высота трапеции выступает как один из катетов.

Так как диагонали пересекаются и делят друг друга пополам, длина половины диагонали выражается через высоту $h$ и половину разности оснований $\frac{c - b}{2}$:

Применим теорему Пифагора для треугольника с гипотенузой $a$:

Шаг 4. Выразим $c - b$ через (1)

Из уравнения (1) знаем:

Отсюда:

Подставим это значение в уравнение (3):

Шаг 5. Решение системы

Окончательно решаем систему из двух уравнений:

1. $b + c = 30 - 2a$,
2. $4a^2 = 196 + (30 - 2a - 2b)^2$.

После упрощения можно найти, что $a = 13$ см.