Ребро куба EFGHE1F1G1H1 равно 3. Найдите тангенс угла между плоскостями EHG и EGF1

Чтобы найти тангенс угла между плоскостями $EHG$ и $EGF_1$, действуем следующим образом:

1. Определим векторы в плоскостях

Плоскости задаются тремя точками:

• Плоскость $EHG$: проходит через точки $E(0, 0, 0)$, $H(3, 0, 3)$, $G(3, 0, 0)$.
• Плоскость $EGF_1$: проходит через точки $E(0, 0, 0)$, $G(3, 0, 0)$, $F_1(3, 3, 3)$.

Для определения нормалей плоскостей, сначала выберем векторы в каждой плоскости.

Для плоскости $EHG$:

• Вектор $\overrightarrow{EH} = (3, 0, 3)$.
• Вектор $\overrightarrow{EG} = (3, 0, 0)$.

Для плоскости $EGF_1$:

• Вектор $\overrightarrow{EG} = (3, 0, 0)$ (тот же, что и выше).
• Вектор $\overrightarrow{EF_1} = (3, 3, 3)$.

2. Вычислим нормали к плоскостям

Нормаль к плоскости получается как векторное произведение двух направляющих векторов.

Нормаль $\mathbf{n_1}$ к плоскости $EHG$:

Итак, $\mathbf{n_1} = (0, -9, 0)$.

Нормаль $\mathbf{n_2}$ к плоскости $EGF_1$:

Итак, $\mathbf{n_2} = (-9, -9, 9)$.

3. Найдём угол между нормалями

Косинус угла между плоскостями равен косинусу угла между их нормалями:

Скалярное произведение нормалей $\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}$: