Ребро куба равно 11 м. Вычисли угол, который образует диагональ куба с плоскостью основания.

Ответы на вопрос

Отвечает Кондратьев Сергей.

Для решения задачи вычисления угла между диагональю куба и плоскостью его основания воспользуемся геометрией и тригонометрией.

Шаг 1: Понять структуру задачи

У куба все грани квадратные, а все ребра равны. Диагональ куба — это отрезок, соединяющий две противоположные вершины куба, проходящий через его центр. Мы ищем угол между этой диагональю и плоскостью одного из оснований куба.

Шаг 2: Построение и обозначения

Пусть ребро куба равно $a = 11$ м. Выберем систему координат:

Вершины куба имеют координаты: $(0,0,0), (11,0,0), (11,11,0), (0,11,0), (0,0,11), (11,0,11), (11,11,11), (0,11,11)$ .
Диагональ куба проходит, например, от $(0,0,0)$ до $(11,11,11)$ .

Угол между диагональю куба и плоскостью основания $Oxy$ — это угол между вектором диагонали и его проекцией на эту плоскость.

Шаг 3: Координаты векторов

Диагональ куба в векторной форме:

\vec{d} = (11, 11, 11).

Проекция этой диагонали на плоскость основания $Oxy$ убирает компоненту $z$ , поэтому её вектор:

\vec{d_{proj}} = (11, 11, 0).

Шаг 4: Формула косинуса угла

Косинус угла между векторами $\vec{d}$ и $\vec{d_{proj}}$ вычисляется как:

\cos \theta = \frac{\vec{d} \cdot \vec{d_{proj}}}{|\vec{d}| \cdot |\vec{d_{proj}}|}.

Скалярное произведение:

\vec{d} \cdot \vec{d_{proj}} = 11 \cdot 11 + 11 \cdot 11 + 11 \cdot 0 = 242.

Модули векторов:

|\vec{d}| = \sqrt{11^2 + 11^2 + 11^2} = \sqrt{3 \cdot 11^2} = 11\sqrt{3}.

|\vec{d_{proj}}| = \sqrt{11^2 + 11^2 + 0^2} = \sqrt{2 \cdot 11^2} = 11\sqrt{2}.

Подставляем в формулу:

\cos \theta = \frac{242}{11\sqrt{3} \cdot 11\sqrt{2}} = \frac{242}{121\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}.