Через точку B, лежащую внутри окружности, проведена хорда, которая делится точкой B на отрезки длинной 8 см и 12 см. Найдите радиус окружности, если точка B удалена от ее цетра на 5 см

Рассмотрим задачу, где у нас есть точка $B$, лежащая внутри окружности, и через неё проведена хорда $AC$, которая делится точкой $B$ на два отрезка: $AB = 8$ см и $BC = 12$ см. Известно, что точка $B$ удалена от центра окружности $O$ на расстояние $OB = 5$ см. Необходимо найти радиус окружности $R$.

Решение:

1. Обозначим хорду $AC$: так как $B$ делит хорду на отрезки $AB = 8$ см и $BC = 12$ см, полная длина хорды $AC$ будет равна:

   $$AC = AB + BC = 8 + 12 = 20 \text{ см}.$$

2. Используем свойство хорды и расстояния до центра: если через точку внутри окружности проведена хорда и известно расстояние от этой точки до центра окружности, то можно воспользоваться теоремой о средней линии. Согласно этой теореме, для любой хорды длиной $AC$, проходящей через точку $B$, соблюдается следующее соотношение:

   $$AB \cdot BC = OB \cdot OM,$$

   где $OM$ — расстояние от центра окружности до середины хорды $AC$. Подставим известные значения:

   $$8 \cdot 12 = 5 \cdot OM.$$

   Отсюда $OM = \frac{8 \cdot 12}{5} = \frac{96}{5} = 19,2$ см.