Хорда АВ делит дугу окружности с центром О на две части, отношение которых равно 6 : 9. Найдите величину центрального угла АОВ(в градусах), если дуга АВ имеет меньшую градусную меру.

Давайте решим задачу пошагово.

1. Понимание задачи: Нам нужно найти величину центрального угла $\angle AOB$, где хорда $AB$ делит дугу окружности на две части в отношении 6:9, при этом дуга $AB$ имеет меньшую градусную меру.

2. Обозначения: Пусть дуга $AB$ окружности делится на две части — меньшую дугу $s_1$ и большую дугу $s_2$, где $s_1$ — меньшая дуга, а $s_2$ — большая. Отношение длин этих дуг задано как $s_1 : s_2 = 6 : 9$. Это отношение можно упростить до $2 : 3$.

3. Сумма углов в окружности: Полный круг (окружность) содержит 360°. Соответственно, длина всех дуг окружности в сумме составляет 360°. Тогда длины дуг $s_1$ и $s_2$ можно выразить через общую длину дуги (360°), используя их отношение.

   Пусть длина меньшей дуги $s_1$ составляет $2x$, а длина большей дуги $s_2$ — $3x$. Поскольку сумма этих двух дуг равна 360°, получаем уравнение:

   $$2x + 3x = 360°.$$

   Это упрощается до:

   $$5x = 360°.$$

   Решив это уравнение, находим:

   $$x = \frac{360°}{5} = 72°.$$

4. Длины дуг: Теперь мы можем найти длины дуг $s_1$ и $s_2$:

   $$s_1 = 2x = 2 \times 72° = 144°,$$ $$s_2 = 3x = 3 \times 72° = 216°.$$

5. Центральный угол: Мы знаем, что центральный угол $\angle AOB$ опирается на меньшую дугу $s_1$, так как по условию задачи нам нужно найти угол, соответствующий меньшей дуге. То есть, величина центрального угла $\angle AOB$ равна величине меньшей дуги $s_1$, а это 144°.

Таким образом, величина центрального угла $\angle AOB$ составляет 144°.