В треугольнике abc точка m середина стороны ab точка n середина стороны ac, отрезки cm и bn пересекаются в точке O, ba=a, bc=b. Выразите вектор Bo через векторы a и b подробно распишите пожалуйста

Чтобы выразить вектор $\mathbf{BO}$ через векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, воспользуемся векторной арифметикой и свойствами средней линии треугольника. Решение будет подробно расписано.

1. Исходные данные

• $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$, и $\mathbf{C}$ — вершины треугольника.
• Точка $\mathbf{M}$ — середина стороны $\mathbf{AB}$, поэтому: $$\mathbf{M} = \frac{\mathbf{A} + \mathbf{B}}{2}.$$
• Точка $\mathbf{N}$ — середина стороны $\mathbf{AC}$, поэтому: $$\mathbf{N} = \frac{\mathbf{A} + \mathbf{C}}{2}.$$
• Отрезки $\mathbf{CM}$ и $\mathbf{BN}$ пересекаются в точке $\mathbf{O}$, которая делит их в отношении $2:1$, считая от вершины треугольника.

2. Уравнение для точки $\mathbf{O}$ на отрезке $\mathbf{CM}$

Вектор $\mathbf{CM}$ задаётся как:

Пусть точка $\mathbf{O}$ делит отрезок $\mathbf{CM}$ в отношении $2:1$. Тогда положение $\mathbf{O}$ можно записать через параметрическое уравнение:

Подставим выражение для $\mathbf{M}$:

Приведём к общему знаменателю:

3. Уравнение для точки $\mathbf{O}$ на отрезке $\mathbf{BN}$

Вектор $\mathbf{BN}$ задаётся как:

Пусть точка $\mathbf{O}$ делит отрезок $\mathbf{BN}$ в отношении $2:1$. Тогда положение $\mathbf{O}$ можно записать как:

Подставим выражение для $\mathbf{N}$:

Приведём к общему знаменателю:

4. Совмещение двух выражений для $\mathbf{O}$

Мы получили два выражения для $\mathbf{O}$:

1. $\mathbf{O} = \frac{\mathbf{A} + \mathbf{B} + 4\mathbf{C}}{6}$,
2. $\mathbf{O} = \frac{\mathbf{A} + 4\mathbf{B} + \mathbf{C}}{6}$.

Они равны, так как описывают одну и ту же точку. Теперь выразим вектор $\mathbf{BO}$:

Подставим второе выражение для $\mathbf{O}$:

Приведём к общему знаменателю: