Помогите очень срочно!!!!! В прямоугольном треугольнике ABC угол С прямой, СН- высота.Найдите АН если АН:НВ=1:8,АС=9 Очень срочно даю 35 баллов

В задаче говорится о прямоугольном треугольнике ABC, где угол C прямой, и из точки C проведена высота CH на гипотенузу AB. Необходимо найти длину отрезка АН, если соотношение АН:НВ = 1:8 и длина катета AC равна 9.

Разбор задачи:

1. Геометрия треугольника:

   • В треугольнике ABC угол C прямой, следовательно, треугольник прямоугольный.
   • CH — это высота, проведенная из прямого угла (из точки C) на гипотенузу AB.
   • Соотношение длин отрезков АН и НВ равно 1:8, то есть АН:НВ = 1:8. Это означает, что длина отрезка АН в 8 раз меньше длины отрезка НВ.

2. Использование геометрических свойств: Поскольку высота CH опускается на гипотенузу, образуются два прямоугольных треугольника:

   • Треугольник AHC
   • Треугольник BHC

   Эти два треугольника подобны исходному треугольнику ABC по признаку прямых углов и общему углу C.

3. Обозначение длин сторон: Обозначим длины сторон:

   • Пусть $AB = c$ — гипотенуза,
   • $AC = 9$ — один из катетов,
   • $BC = b$ — второй катет.

4. Используем отношения: Из того, что АН:НВ = 1:8, можно выразить длины отрезков АН и НВ через одну переменную: Пусть длина АН равна $x$, тогда длина НВ будет $8x$.

   Поскольку точка H делит гипотенузу AB на два отрезка (АН и НВ), то длина гипотенузы $AB = AN + NB = x + 8x = 9x$.

5. Применение теоремы о высоте: Теорема о высоте для прямоугольного треугольника гласит, что произведение отрезков, на которые высота делит гипотенузу, равно произведению длин катетов:

   $$AH \cdot HB = AC \cdot BC$$

   Подставляем известные значения:

   $$x \cdot 8x = 9 \cdot b$$

   Получаем:

   $$8x^2 = 9b \quad \text{(1)}$$

6. Используем теорему Пифагора: В треугольнике ABC по теореме Пифагора:

   $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$

   Подставляем значения:

   $$9^2 + b^2 = (9x)^2$$ $$81 + b^2 = 81x^2$$ $$b^2 = 81x^2 - 81$$ $$b^2 = 81(x^2 - 1)$$ $$b = 9 \sqrt{x^2 - 1} \quad \text{(2)}$$

7. Подставим (2) в (1): Теперь из уравнения (1) подставим значение $b$ из (2):

   $$8x^2 = 9 \cdot 9 \sqrt{x^2 - 1}$$ $$8x^2 = 81 \sqrt{x^2 - 1}$$

   Разделим обе части на 81:

   $$\frac{8x^2}{81} = \sqrt{x^2 - 1}$$

   Возведем обе части в квадрат:

   $$\left( \frac{8x^2}{81} \right)^2 = x^2 - 1$$

   Упростим:

   $$\frac{64x^4}{6561} = x^2 - 1$$

   Умножим обе части на 6561:

   $$64x^4 = 6561(x^2 - 1)$$

   Раскроем скобки:

   $$64x^4 = 6561x^2 - 6561$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$64x^4 - 6561x^2 + 6561 = 0$$

   Решим это уравнение относительно $x^2$. Это уравнение является квадратным относительно $x^2$.