Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами 9,12 и 15

Для нахождения меньшей высоты треугольника со сторонами 9, 12 и 15, необходимо выполнить несколько шагов. Рассмотрим решение поэтапно.

1. Проверка существования треугольника: Для начала убедимся, что треугольник с такими сторонами существует. Необходимо, чтобы сумма длин любых двух сторон была больше длины третьей стороны:

   • 9 + 12 > 15 (21 > 15) — выполняется.
   • 9 + 15 > 12 (24 > 12) — выполняется.
   • 12 + 15 > 9 (27 > 9) — выполняется.

   Так как все эти неравенства выполняются, треугольник существует.

2. Вычисление площади треугольника: Чтобы найти высоты, можно сначала вычислить площадь треугольника. Для этого используем формулу Герона.

   Сначала находим полупериметр $p$ треугольника:

   $$p = \frac{9 + 12 + 15}{2} = 18$$

   Далее вычисляем площадь $S$ по формуле Герона:

   $$S = \sqrt{p(p - 9)(p - 12)(p - 15)}$$

   Подставляем значения:

   $$S = \sqrt{18(18 - 9)(18 - 12)(18 - 15)} = \sqrt{18 \times 9 \times 6 \times 3}$$ $$S = \sqrt{18 \times 162} = \sqrt{2916} = 54$$

   Таким образом, площадь треугольника $S = 54$ квадратных единиц.

3. Нахождение высот: Для вычисления высоты треугольника относительно каждой из сторон используем формулу для площади треугольника:

   $$S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$$

   Где основанием будет каждая из сторон, а высота — это искомая величина. Выразим высоту через площадь и основание:

   $$h = \frac{2S}{\text{основание}}$$

   Теперь находим высоты для каждой стороны.

   • Высота относительно стороны 9 (основание = 9):

     $$h_9 = \frac{2 \times 54}{9} = \frac{108}{9} = 12$$

   • Высота относительно стороны 12 (основание = 12):

     $$h_{12} = \frac{2 \times 54}{12} = \frac{108}{12} = 9$$

   • Высота относительно стороны 15 (основание = 15):

     $$h_{15} = \frac{2 \times 54}{15} = \frac{108}{15} = 7.2$$

4. Ответ: Наименьшая высота — это высота, проведённая к стороне длиной 15. Она равна 7.2 единицы.

Таким образом, меньшая высота треугольника с сторонами 9, 12 и 15 равна 7.2.