На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М и N, так что угол ВМN равен углу BCA. Найдите MN, если АС=28, АВ=21, BN=15.

Давайте разберемся с этим задачей пошагово.

Итак, у нас есть треугольник $ABC$, на сторонах $AB$ и $BC$ взяты точки $M$ и $N$, такие что угол $\angle BMN$ равен углу $\angle BCA$. Нас просят найти длину отрезка $MN$.

Шаг 1. Изучим условия задачи

1. $\angle BMN = \angle BCA$. Это означает, что угол $BMN$ является равным углу $BCA$. В геометрии это часто встречается при решении задач с подобием треугольников.
2. Мы знаем, что:
   • $AC = 28$,
   • $AB = 21$,
   • $BN = 15$.

Шаг 2. Используем свойство подобия треугольников

У нас есть два угла:

• $\angle BCA$,
• $\angle BMN$.

Эти два угла равны, а значит, если мы проведем прямую $MN$, то треугольники $BMN$ и $BCA$ будут подобны по признаку равенства двух углов. Это позволяет записать пропорцию, учитывая, что стороны соответствующих треугольников пропорциональны.

Шаг 3. Найдем пропорции для подобия треугольников

Так как треугольники $BMN$ и $BCA$ подобны, то для их сторон выполняется пропорция:

Заменим известные значения:

• $BA = AB = 21$,
• $BC = AB - BN = 21 - 15 = 6$,
• $AC = 28$,
• $BN = 15$.

Получаем пропорцию:

Шаг 4. Решим пропорцию

Из пропорции $\frac{15}{6} = \frac{MN}{28}$ найдем $MN$. Умножим обе части пропорции на 28:

Посчитаем:

Ответ

Длина отрезка $MN$ равна 70.