Напишите уравнение прямой проходящей через центр описанной окружности и вершину прямого угла треугольника KMN если K(3;0), M(1;0), N(3;4)

Для того чтобы составить уравнение прямой, проходящей через центр описанной окружности и вершину прямого угла треугольника KMN, нужно выполнить несколько шагов:

1. Определим вершины треугольника:

У нас есть координаты точек:

• $K(3;0)$
• $M(1;0)$
• $N(3;4)$

2. Проверим, какой угол в треугольнике прямой.

Прямой угол в треугольнике всегда лежит напротив гипотенузы. Для этого вычислим длины сторон треугольника KMN:

• $KM = \sqrt{(3 - 1)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{4} = 2$
• $KN = \sqrt{(3 - 3)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{16} = 4$
• $MN = \sqrt{(3 - 1)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

Теперь проверим, где прямой угол:

• Теорема Пифагора для треугольника с прямым углом гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Проверим это для каждой стороны:

1. Проверка для угла $\angle KMN$ (между сторонами $KM$ и $MN$):
   • $KM^2 + KN^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$
   • $MN^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20$
   Таким образом, угол $\angle KMN$ прямой, так как выполняется теорема Пифагора. То есть, прямой угол находится в точке $M(1;0)$.

3. Найдем центр описанной окружности.

Центр описанной окружности — это точка пересечения перпендикуляров, проведённых из середины сторон треугольника. Рассмотрим три стороны треугольника и их середины.

• Середина стороны $KM$ с координатами $K(3;0)$ и $M(1;0)$ имеет координаты:

  $$\left( \frac{3+1}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = (2;0)$$

• Середина стороны $KN$ с координатами $K(3;0)$ и $N(3;4)$ имеет координаты:

  $$\left( \frac{3+3}{2}, \frac{0+4}{2} \right) = (3;2)$$

Перпендикуляр к стороне $KM$ будет вертикальным, так как сторона $KM$ лежит на оси $x$. Следовательно, уравнение перпендикуляра — это прямая $x = 2$.

Перпендикуляр к стороне $KN$ будет горизонтальным, так как сторона $KN$ вертикальна. Уравнение перпендикуляра будет $y = 2$.

Таким образом, центр описанной окружности — это точка пересечения этих перпендикуляров:

4. Составим уравнение прямой.

Теперь, когда мы знаем координаты центра описанной окружности $(2; 2)$ и вершину прямого угла $M(1;0)$, можем составить уравнение прямой, проходящей через эти две точки.

Используем формулу для углового коэффициента прямой:

где $(x_1; y_1) = (1;0)$, а $(x_2; y_2) = (2;2)$. Подставляем значения:

Теперь, зная угловой коэффициент $k = 2$