На продолжении стороны KN данного треугольника KMN постройте точку Р так, чтобы площадь треугольника NMP была в два раза меньше площади треугольника KMN.

Рассмотрим треугольник $KMN$, в котором требуется построить точку $P$ на продолжении стороны $KN$ таким образом, чтобы площадь треугольника $NMP$ была в два раза меньше площади треугольника $KMN$.

Обозначим площадь треугольника $KMN$ через $S$. Тогда площадь треугольника $NMP$ должна быть равна $\frac{S}{2}$.

Шаги решения

1. Определите направление построения точки $P$:
   Поскольку точка $P$ лежит на продолжении стороны $KN$, она должна находиться за точкой $N$ по направлению отрезка $KN$.

2. Рассчитайте отношение длин отрезков:
   Площади треугольников с общей высотой относятся так же, как и основания этих треугольников. Это связано с тем, что при одной и той же высоте площадь треугольника пропорциональна длине его основания.

   Пусть длина отрезка $KN$ равна $x$, а длина отрезка $NP$ равна $y$. Тогда треугольники $KMN$ и $NMP$ имеют общую высоту, проведённую из точки $M$ к прямой $KN$. Из условия следует, что площадь $NMP$ должна быть в два раза меньше площади $KMN$. Значит, основание $NP$ должно быть в два раза меньше, чем $KN$.

   Это даёт нам уравнение для соотношения длин:

   $$\frac{NP}{KN} = \frac{1}{2}$$

   Из этого следует, что $NP = \frac{1}{2} \cdot KN = \frac{x}{2}$.

3. Постройте точку $P$:
   Отложите отрезок $NP = \frac{x}{2}$ на продолжении стороны $KN$ за точкой $N$. Теперь точка $P$ расположена на расстоянии $\frac{x}{2}$ от точки $N$ вдоль линии $KN$.

Таким образом, при выполнении этого построения площадь треугольника $NMP$ будет в два раза меньше площади треугольника $KMN$, что и требовалось доказать.