С рисунком Основанием пирамиды MABCD является квадрат АВСD со стороной 4. Боковое ребро BМ перпендикулярно плоскости основания пирамиды, BМ=9.
а) Найдите расстояние от точки М до прямой АС.
б) Вычислите площадь треугольника АСМ.

Решение:

Дано:

• Основание пирамиды $MABCD$ — квадрат $ABCD$ со стороной $AB = BC = CD = DA = 4$.
• Боковое ребро $BM = 9$ перпендикулярно плоскости основания.
• Требуется:
  a) Найти расстояние от точки $M$ до прямой $AC$.
  b) Вычислить площадь треугольника $\triangle ACM$.

Шаг 1. Найдем координаты точек.

Разместим квадрат $ABCD$ в плоскости $Oxy$ с началом координат в точке $A$:

• $A(0, 0, 0)$,
• $B(4, 0, 0)$,
• $C(4, 4, 0)$,
• $D(0, 4, 0)$.
  Точка $M$ находится над точкой $B$ на высоте 9, поэтому её координаты:
  $M(4, 0, 9)$.

Прямая $AC$ соединяет точки $A(0, 0, 0)$ и $C(4, 4, 0)$.

Шаг 2. Расстояние от точки $M$ до прямой $AC$.

2.1. Векторное представление прямой $AC$.

Вектор $\overrightarrow{AC}$:

2.2. Вектор от точки $A$ до $M$.

Вектор $\overrightarrow{AM}$:

2.3. Найдем векторное произведение $\overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{AC}$.

2.4. Найдем модуль векторного произведения.

2.5. Найдем модуль вектора $\overrightarrow{AC}$.