докажите что два прямоугольных треугольника равны, если острый угол и биссектриса одного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе другого прямоугольного треугольника

Для доказательства равенства двух прямоугольных треугольников, если острый угол одного равен острому углу другого, а биссектриса этого угла равна биссектрисе соответствующего угла другого треугольника, можно воспользоваться следующими рассуждениями:

1. Равенство острых углов:
   Пусть два прямоугольных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$. Угол $\angle A = \angle A'$, где $\angle A$ и $\angle A'$ — острые углы в треугольниках. Поскольку в прямоугольных треугольниках сумма острых углов равна $90^\circ$, то второй острый угол $\angle B$ также равен второму острому углу $\angle B'$ (из условия $\angle B = 90^\circ - \angle A$, $\angle B' = 90^\circ - \angle A'$).

2. Равенство биссектрис:
   Пусть $AD$ — биссектриса угла $\angle A$ треугольника $\triangle ABC$, а $A'D'$ — биссектриса угла $\angle A'$ треугольника $\triangle A'B'C'$, причём $AD = A'D'$. Биссектриса делит угол пополам, поэтому её длина зависит от сторон треугольника, к которым она проведена.

3. Выражение длины биссектрисы:
   Длина биссектрисы $AD$ в треугольнике $\triangle ABC$ определяется формулой:

   $$l = \frac{2bc \cos\frac{\alpha}{2}}{b+c},$$

   где $b$ и $c$ — стороны треугольника, прилежащие к углу $\alpha$, а $\alpha = \angle A$.

   Аналогично, длина биссектрисы $A'D'$ в $\triangle A'B'C'$ определяется как:

   $$l' = \frac{2b'c' \cos\frac{\alpha'}{2}}{b'+c'},$$

   где $b'$ и $c'$ — стороны треугольника, прилежащие к углу $\alpha'$.

   Из условия $AD = A'D'$ и $\alpha = \alpha'$, получаем:

   $$\frac{2bc \cos\frac{\alpha}{2}}{b+c} = \frac{2b'c' \cos\frac{\alpha}{2}}{b'+c'}.$$

   Поскольку $\cos\frac{\alpha}{2}$ одинаково для обоих треугольников, это упрощается до:

   $$\frac{bc}{b+c} = \frac{b'c'}{b'+c'}.$$

4. Равенство сторон:
   Данное равенство подтверждает, что отношения $bc/(b+c)$ и $b'c'/(b'+c')$ одинаковы. Учитывая, что $\alpha = \alpha'$, треугольники имеют одинаковую геометрию. Из условия равенства биссектрис следует, что стороны $b$ и $c$ пропорциональны сторонам $b'$ и $c'$, причём коэффициент пропорциональности равен 1 (иначе биссектрисы не были бы равны). Таким образом, $b=b^{\mathrm{\prime }}$