В трапеции ABCD меньшая диагональ BD равна 6 перпендикулярная основаиям AD=3 и BC=12 найдите сумму тупых углов B и D трапеции

Чтобы найти сумму тупых углов $\angle B$ и $\angle D$ в трапеции $ABCD$, воспользуемся геометрическими соотношениями и свойствами трапеций. Рассмотрим решение пошагово:

1. Дано:

• $BD = 6$ — длина меньшей диагонали.
• $AD = 3$ — длина меньшего основания.
• $BC = 12$ — длина большего основания.
• $BD$ перпендикулярна основаниям $AD$ и $BC$.

2. Положение трапеции в системе координат:

Для удобства разместим трапецию так:

• $A(0, 0)$, $D(3, 0)$ — координаты точек на нижнем основании $AD$.
• $B(x, h)$, $C(x + 12, h)$ — координаты точек на верхнем основании $BC$, где $h$ — высота трапеции.

Так как $BD$ перпендикулярна основаниям, точка $B$ лежит на вертикали, проходящей через точку $D$, а $C$ находится на одной высоте с $B$. Это даёт: $B(3, 6), \; C(15, 6).$

3. Угол наклона сторон $AB$ и $CD$:

Теперь определим углы между боковыми сторонами и основаниями:

Для стороны $AB$:

• Координаты $A(0, 0)$ и $B(3, 6)$.
• Угловой коэффициент прямой $AB$: $k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{6 - 0}{3 - 0} = 2.$
• Угол наклона к основанию $\alpha$ даёт: $\tan \alpha = 2 \implies \alpha = \arctan(2).$

Для стороны $CD$:

• Координаты $C(15, 6)$ и $D(3, 0)$.
• Угловой коэффициент прямой $CD$: $k_{CD} = \frac{y_C - y_D}{x_C - x_D} = \frac{6 - 0}{15 - 3} = \frac{1}{2}.$
• Угол наклона к основанию $\beta$ даёт: $\tan \beta = \frac{1}{2} \implies \beta = \arctan\left(\frac{1}{2}\right).$

4. Сумма тупых углов $\angle B$ и $\angle D$:

Сумма углов в четырёхугольнике равна $360^\circ$. В трапеции $ABCD$ два острых угла $\angle A$ и $\angle C$ равны углам наклона боковых сторон: $\angle A = \alpha, \quad \angle C = \beta.$

Тупые углы $\angle B$ и $\angle D$ дополняют острые до $180^\circ$: $\angle B = 180^\circ - \alpha, \quad \angle D = 180^\circ - \beta.$

Их сумма:

5. Сумма углов наклона $\alpha + \beta$:

Используем формулу для суммы арктангенсов: