Диагонали ромба относятся как 2:7, периметр ромба равен 53. Найдите высоту ромба

Для решения задачи найдем высоту ромба, зная соотношение диагоналей, их свойства, а также периметр ромба.

Шаг 1. Вспомним свойства ромба

• Все стороны ромба равны.
• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.

Пусть длины диагоналей ромба равны $2x$ и $7x$ (из условия соотношения 2:7).

Шаг 2. Выразим сторону ромба через диагонали

В ромбе стороны связаны с диагоналями по теореме Пифагора. Половины диагоналей образуют прямоугольный треугольник с половинами диагоналей как катетами и стороной ромба как гипотенузой:

Упростим выражение:

Шаг 3. Найдем значение $x$ из периметра

Периметр ромба равен 4 умножить на длину стороны:

Подставим значение $a$ в формулу для стороны:

Умножим обе части на 4:

Разделим на $2\sqrt{53}$:

Шаг 4. Найдем высоту ромба

Высота ромба равна $h = \frac{d_1 \cdot d_2}{2a}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба. Подставим $d_1 = 2x$ и $d_2 = 7x$:

Подставим значения $x = \frac{\sqrt{53}}{2}$ и $a = \frac{53}{4}$:

Упростим: