Точки M, P и K делят окружность с центром H и радиусом 2 на три равные дуги. Найдите длину вектора (HM+HP+HK)

Для решения задачи определим длину вектора $(\vec{HM} + \vec{HP} + \vec{HK})$, где точки $M$, $P$ и $K$ делят окружность радиуса $R = 2$ с центром в точке $H$ на три равные дуги.

1. Координаты точек на окружности

Окружность разделена на три равные дуги, значит углы между радиусами, соединяющими точки $H$ с $M$, $P$, и $K$, равны $120^\circ$.

Для удобства расположим центр окружности $H$ в начале координат $(0, 0)$. Тогда координаты точек $M$, $P$, и $K$ на окружности будут:

• $M = (2, 0)$ (начальная точка на окружности),
• $P = (2 \cos 120^\circ, 2 \sin 120^\circ)$,
• $K = (2 \cos 240^\circ, 2 \sin 240^\circ)$.

Считаем координаты $P$ и $K$ более подробно:

• Для $P$: $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}, \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $$P = \left(2 \cdot -\frac{1}{2}, 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = (-1, \sqrt{3}).$$
• Для $K$: $\cos 240^\circ = -\frac{1}{2}, \sin 240^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $$K = \left(2 \cdot -\frac{1}{2}, 2 \cdot -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = (-1, -\sqrt{3}).$$

2. Сумма векторов

Теперь найдём сумму векторов $\vec{HM} + \vec{HP} + \vec{HK}$:

• $\vec{HM} = (2, 0)$,
• $\vec{HP} = (-1, \sqrt{3})$,
• $\vec{HK} = (-1, -\sqrt{3})$.

Складываем покоординатно: