Диагонали АС и ВД четырёхугольника АВСД, вписанного в окружность пересекаются в точке Р. С хордой ВС стяг равен 100 градусов, а АВ равен 150 градусов. Найти угол АРВ.

Рассмотрим задачу. Дано, что четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, а его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Известно, что угол, стягиваемый хордой $BC$, равен $100^\circ$, а угол, стягиваемый хордой $AB$, равен $150^\circ$. Необходимо найти угол $APB$.

Шаг 1: Свойства вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, поэтому суммы противоположных углов равны $180^\circ$. Это свойство мы будем использовать, если потребуется.

Также диагонали вписанного четырёхугольника делят углы при вершинах на пары углов, сумма которых равна углу, стягиваемому соответствующей дугой.

Шаг 2: Угол, стягиваемый дугой $AB$ и дугой $BC$

• Дуга $BC$ стягивает центральный угол $100^\circ$. Соответствующий вписанный угол равен половине центрального угла:

  $$\angle BAC = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ.$$

• Дуга $AB$ стягивает центральный угол $150^\circ$, а соответствующий вписанный угол равен:

  $$\angle ABC = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ.$$

Шаг 3: Углы при точке пересечения диагоналей $P$

Точка пересечения диагоналей $P$ разбивает диагонали на пары треугольников, в которых углы при вершинах выражаются через дуги.

1. Рассмотрим треугольник $APB$. Угол $APB$ — это внешний угол для углов $BAC$ и $ABC$. В окружности вписанный угол между двумя диагоналями равен разности половины дуг, которые стягивают диагонали: $$\angle APB = 90^\circ.$$

Ответ:

Угол $APB$ равен $90^\circ$.