Дано: плоскости альфа и бета пересекаются по прямой A. Может ли точка C принадлежать плоскостям альфа и бета ?<br />

Для того чтобы ответить на вопрос, нужно понять геометрическое расположение точек и плоскостей.

1. Пересечение двух плоскостей: Когда две плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, их пересечение представляет собой прямую $A$. Прямая $A$ является множеством всех точек, которые одновременно лежат в обеих плоскостях. Это ключевой момент, который помогает понять условия принадлежности точки $C$.

2. Может ли точка $C$ принадлежать обеим плоскостям?
   Да, точка $C$ может одновременно принадлежать плоскостям $\alpha$ и $\beta$, но только если она лежит на прямой $A$. Другими словами, точка $C$ будет общей для плоскостей $\alpha$ и $\beta$ только в том случае, если она является частью линии пересечения $A$.

3. Обоснование:

   • Если точка $C$ лежит в $\alpha$, то её координаты удовлетворяют уравнению плоскости $\alpha$.
   • Если точка $C$ лежит в $\beta$, то её координаты также удовлетворяют уравнению плоскости $\beta$.
   • Для того чтобы $C$ принадлежала обеим плоскостям, её координаты должны одновременно удовлетворять уравнениям $\alpha$ и $\beta$. Это возможно только в том случае, если $C$ лежит на прямой пересечения $A$, так как только точки линии $A$ удовлетворяют условиям принадлежности обеим плоскостям.

4. Пример:
   Представим, что уравнения плоскостей заданы следующим образом:

   • $\alpha: ax + by + cz + d = 0$,
   • $\beta: a'x + b'y + c'z + d' = 0$.

   Уравнения пересекаются по линии $A$, которая может быть параметризована. Любая точка $C(x, y, z)$, принадлежащая этой линии, будет общей для $\alpha$ и $\beta$.

5. Вывод:
   Точка $C$ может принадлежать плоскостям $\alpha$ и $\beta$, но только если она лежит на линии их пересечения $A$. Если $C$ находится вне $A$, она не может одновременно быть в обеих плоскостях.