Точки К и Р делят большее основание AD трапеции ABCD на три равные части. Площадь треугольника ВКР равна 2. Найдите площадь трапеции, если известно, что AD в 3 раза длиннее ВС.

Чтобы решить задачу, начнем с анализа условий.

Дано:

1. Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ (большее) и $BC$ (меньшее).
2. Точки $K$ и $P$ делят основание $AD$ на три равные части, то есть: $$AK = KP = PD = \frac{AD}{3}.$$
3. Площадь треугольника $BKP$ равна 2.
4. Основание $AD$ в 3 раза больше основания $BC$, то есть: $$AD = 3 \cdot BC.$$

Обозначим:

• Длину основания $AD$ как $3x$, тогда основание $BC = x$.
• Высоту трапеции обозначим за $h$.

Теперь вычислим площадь трапеции.

1. Найдем координаты ключевых точек

Разместим трапецию в системе координат:

• $A(0, 0)$, $D(3x, 0)$ — точки большего основания.
• $B$ и $C$ лежат на верхнем основании, так что их координаты — $B(p, h)$ и $C(q, h)$, где длина $BC = x$, то есть $q - p = x$.

Точки деления:

• $K$ делит $AD$ на треть, значит $K(x, 0)$.
• $P$ делит $AD$ на три части, значит $P(2x, 0)$.

2. Найдем площадь треугольника $BKP$

Площадь треугольника $BKP$ задается формулой:

Для треугольника $BKP$ можно записать в координатах:

Подставим координаты $B(p, h)$, $K(x, 0)$, $P(2x, 0)$:

Из условия $S_{BKP} = 2$:

3. Найдем площадь трапеции

Площадь трапеции выражается формулой:

Подставим известные значения:

Из предыдущего шага $xh = 4$, следовательно:

Ответ:

Площадь трапеции равна $8$.