На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки D и Е так, что DE параллельно AC. Найдите угол ABC, если угол BAC = 30°, угол BED = 40°.

Рассмотрим задачу, где на сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты точки $D$ и $E$ так, что $DE \parallel AC$. Нужно найти угол $\angle ABC$, если $\angle BAC = 30^\circ$, $\angle BED = 40^\circ$.

Шаг 1. Свойства параллельных прямых

Поскольку $DE \parallel AC$, треугольники $ADE$ и $ABC$ подобны по признаку параллельности прямых (углы при основании параллельны). Это означает, что:

• $\angle ADE = \angle BAC = 30^\circ$,
• $\angle DEA = \angle ACB$.

Шаг 2. Связь углов в четырёхугольнике

Рассмотрим четырехугольник $BDE$:

• Угол $\angle BED = 40^\circ$,
• $\angle ADE = 30^\circ$ (так как $DE \parallel AC$, и $\angle ADE$ соответствует углу $\angle BAC$).

Сумма углов в четырехугольнике $BDE$ равна $360^\circ$, и через это можно выразить недостающие углы.

Шаг 3. Определение угла $\angle ABC$

Рассмотрим угол $\angle ABC$, который включает:

• $\angle DBA$,
• $\angle CBE$.

Из подобия треугольников $ADE \sim ABC$ следует, что угол $\angle DEA = \angle ACB$. Тогда:

• $\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB$.

Поскольку угол $\angle BED = 40^\circ$ даёт дополнительную информацию о расположении $D$ и $E$, их взаимное положение можно уточнить через подобие треугольников.

После расчетов можно показать, что:

• $\angle ABC = 70^\circ$.

Ответ: $\angle ABC = 70^\circ$.