Найти разложение вектора а по базису p, q, r . a=(6,12,-1), P=(1,3,0), q=(2,-1,1), r=(0,-1,2)
Решение письмено

Чтобы найти разложение вектора a по базису p, q, r, нужно выразить вектор a как линейную комбинацию этих векторов. То есть, необходимо найти такие коэффициенты λ₁, λ₂ и λ₃, такие что:

Итак, нам даны:

• вектор a = (6, 12, -1)
• вектор p = (1, 3, 0)
• вектор q = (2, -1, 1)
• вектор r = (0, -1, 2)

Запишем систему линейных уравнений для координат вектора a:

То есть:

Теперь решим эту систему уравнений.

1. Из первого уравнения:

2. Подставим выражение для λ₁ в остальные уравнения:

Во втором уравнении:

В третьем уравнении:

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

3. Решим систему уравнений (4) и (5):

Из уравнения (5) выразим λ₂:

Подставим это в уравнение (4):

4. Теперь найдём λ₂:

Подставим λ₃ = -1 в λ₂ = -1 - 2λ₃:

5. Наконец, найдём λ₁:

Подставим λ₂ = 1 в λ₁ = 6 - 2λ₂:

Ответ:

Разложение вектора a по базису p, q, r выглядит следующим образом:

То есть, коэффициенты разложения вектора a по базису p, q, r равны λ₁ = 4, λ₂ = 1, λ₃ = -1.