Длина вектора a⃗\vec{a}a равна 3, длина вектора a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b}a+b равна 6. Косинус угла

Ответы на вопрос

Отвечает Григоренко Оксана.

Рассмотрим условия задачи:

Длина вектора $\mathbf{a}$ равна 3, то есть $|\mathbf{a}| = 3$ .
Длина суммы векторов $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ равна 6, то есть $|\mathbf{a} + \mathbf{b}| = 6$ .
Косинус угла между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ равен $-\frac{11}{21}$ , то есть $\cos \theta = -\frac{11}{21}$
Нужно найти длину вектора $\mathbf{b}$ , то есть $|\mathbf{b}|$ .

Известно, что длина суммы двух векторов находится по формуле:

|\mathbf{a} + \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2 |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta

Подставим известные значения:

6^2 = 3^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2 \cdot 3 \cdot |\mathbf{b}| \cdot \left(-\frac{11}{21} \right)

36 = 9 + |\mathbf{b}|^2 - \frac{66}{21} \cdot |\mathbf{b}|

36 = 9 + |\mathbf{b}|^2 - \frac{22}{7} |\mathbf{b}|

|\mathbf{b}|^2 - \frac{22}{7} |\mathbf{b}| + 9 = 36

|\mathbf{b}|^2 - \frac{22}{7} |\mathbf{b}| - 27 = 0

|\mathbf{b}|^2 - \frac{22}{7} |\mathbf{b}| - 27 = 0

Решаем квадратное уравнение по формуле:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

где $a = 1$ , $b = -\frac{22}{7}$ , $c = -27$ .

Вычисляем дискриминант:

D = \left(-\frac{22}{7}\right)^2 - 4(1)(-27)

D = \frac{484}{49} + 108

D = \frac{484}{49} + \frac{5292}{49} = \frac{5776}{49}

D = \left(\frac{76}{7}\right)^2

Теперь корни:

|\mathbf{b}| = \frac{\frac{22}{7} \pm \frac{76}{7}}{2}

|\mathbf{b}| = \frac{22 \pm 76}{14}

Получаем два значения:

|\mathbf{b}| = \frac{98}{14} = 7, \quad |\mathbf{b}| = \frac{-54}{14} \approx -3.86

Так как длина вектора не может быть отрицательной, то окончательный ответ:

\mathbf{|b|} = 7

Ответ: 7.

Длина вектора $\vec{a}$ равна 3, длина вектора $\vec{a} + \vec{b}$ равна 6. Косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $-\frac{11}{21}$ . Найдите длину вектора $\vec{b}$ .