Длина вектора $\mathbf{a}$ равна 3, длина вектора $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ равна 6. Косинус угла между $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ равен $-\frac{11}{21}$. Найдите длину вектора $\mathbf{b}$.

Рассмотрим данное условие:

• Длина вектора $\vec{a}$ равна 3, то есть $|\vec{a}| = 3$.
• Длина суммы векторов $\vec{a} + \vec{b}$ равна 6, то есть $|\vec{a} + \vec{b}| = 6$.
• Косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $-\frac{11}{21}$.
• Нужно найти длину вектора $\vec{b}$, то есть $|\vec{b}|$.

Используем формулу длины суммы векторов:

Подставляем известные данные:

Упрощаем дробь:

Заменяем:

Вычтем 9 из обеих частей:

Обозначим $x = |\vec{b}|$, получаем квадратное уравнение:

Решаем квадратное уравнение по дискриминанту: