Периметр ромба равен 48 см, а сумма длин его диагоналей равна 26 см. Найдите площадь ромба.

Ответы на вопрос

Отвечает Приставко Ульяна.

Для решения задачи найдем площадь ромба, зная его периметр и сумму длин диагоналей.

Дано:

Периметр ромба $P = 48$ см.
Сумма длин диагоналей $d_1 + d_2 = 26$ см.

Решение:

Шаг 1. Найдем сторону ромба.

Периметр ромба равен четырём его сторонам, поэтому длина стороны $a$ равна:

a = \frac{P}{4} = \frac{48}{4} = 12 \, \text{см}.

Шаг 2. Связь диагоналей и площади ромба.

Площадь ромба можно вычислить по формуле:

S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2},

где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба. Чтобы найти длины диагоналей, используем свойства ромба и теорему Пифагора.

Шаг 3. Найдем длины диагоналей.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Если длины диагоналей равны $d_1$ и $d_2$ , то половины диагоналей равны $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$ . Эти половины вместе с одной стороной ромба образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2.

Подставим известное значение $a = 12$ :

12^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2.

144 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4}.

Умножим всё уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:

576 = d_1^2 + d_2^2.

Шаг 4. Выразим сумму квадратов диагоналей.

У нас есть ещё одно уравнение: $d_1 + d_2 = 26$ . Вспомним формулу квадрата суммы:

(d_1 + d_2)^2 = d_1^2 + d_2^2 + 2d_1d_2.

Подставим $d_1 + d_2 = 26$ :

26^2 = d_1^2 + d_2^2 + 2d_1d_2.

676 = d_1^2 + d_2^2 + 2d_1d_2.

Из предыдущего уравнения мы знаем, что $d_1^2 + d_2^2 = 576$ . Подставим это значение:

676 = 576 + 2d_1d_2.

Вычислим $2d_1d_2$ :

2d_1d_2 = 676 - 576 = 100.

Периметр ромба равен 48 см, а сумма длин его диагоналей равна 26 см. Найдите
площадь ромба.