1.В четырёхугольник ABCD O-точка пересечения диагоналей и BC=AD, AB=CD, AC=16 cм, BD=14 cм, PΔ AOB=25 cм. Найдите AB

2.В параллелограмме ABCD из вершины тупого угла B опущен перпендикуляр BK на сторону AD и AK=BK. Найдите углы

Задача 1. Найти $AB$ в четырёхугольнике ABCD

Условие задачи:

• $BC = AD$,
• $AB = CD$,
• Диагонали $AC = 16$ см и $BD = 14$ см,
• Площадь треугольника $\triangle AOB = 25$ см².

Решение:

1. Свойства диагоналей: В четырёхугольнике с условием равенства противоположных сторон ($BC = AD$, $AB = CD$) и равенством площадей треугольников, образованных диагоналями ($\triangle AOB$ и $\triangle COD$), можно предположить, что это ромб. Это следует из симметрии.

2. Площадь ромба через диагонали: Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD.$$

   Подставляем значения диагоналей:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 14 = 112 \, \text{см}^2.$$

3. Проверка площади треугольника $\triangle AOB$: Точка пересечения диагоналей делит их пополам. Значит, площадь $\triangle AOB$ равна четверти площади ромба:

   $$P_{\triangle AOB} = \frac{1}{4} \cdot S = \frac{1}{4} \cdot 112 = 28 \, \text{см}^2.$$

   Условие задачи утверждает, что площадь $P_{\triangle AOB} = 25$ см². Это означает, что четырёхугольник не является ромбом, но близок к этой форме, например, равнобочной трапецией.

4. Рассмотрим трапецию: В равнобедренной трапеции:

   $$AB = CD, \, BC = AD.$$

   Пусть длины оснований трапеции $AB = CD = x$. Треугольник $\triangle AOB$ с основанием $AO = \frac{AC}{2} = 8$ см и высотой $h$ имеет площадь:

   $$P_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot h = 25.$$

   Отсюда найдем $h$:

   $$h = \frac{2 \cdot 25}{8} = 6.25 \, \text{см}.$$

5. Площадь ромба с корректировкой: Диагональ $BD$ делится пополам: $BO = \frac{BD}{2} = 7$ см. В треугольнике $\triangle AOB$ высота $h$ перпендикулярна стороне $AO$. По теореме Пифагора:

   $$AB = \sqrt{AO^2 + h^2} = \sqrt{8^2 + 6.25^2}.$$

   Вычисляем:

   $$AB = \sqrt{64 + 39.0625} = \sqrt{103.0625} \approx 10.15 \, \text{см}.$$

Ответ: $AB \approx 10.15 \, \text{см}$.

Задача 2. Найти углы параллелограмма

Условие задачи:

• $ABCD$ — параллелограмм,
• $B$ — вершина тупого угла,
• Перпендикуляр $BK$ опущен на сторону $AD$,
• $AK = BK$.

Решение:

1. Свойства параллелограмма: Углы $\angle A$ и $\angle C$ — острые, углы $\angle B$ и $\angle D$ — тупые.

2. Равенство $AK = BK$: В условии указано, что $BK$ — перпендикуляр. Значит, $\triangle ABK$ является равнобедренным прямоугольным треугольником:

   $$AK = BK.$$

   Углы этого треугольника:

   $$\angle ABK = \angle BAK = 45^\circ.$$

3. Нахождение углов параллелограмма: Острый угол $\angle A$ состоит из двух частей:

   $$\angle A = \angle BAK + \angle KAB = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ.$$

   Таким образом: