Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 3√2, √14 и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причем отрезок КС пересекает сторону АВ в точке, отличной от В. Известно, что треугольник с вершинами К, А и С подобен исходному. Найдите косинус угла АКС, если угол КАС > 90 градусов.

Помогите пожалуйста, завтра экзамен, нужно понять ход решения. Заранее спасибо.

Давайте разберёмся подробно.

Шаг 1: Анализ треугольника $\triangle ABC$

Длины сторон треугольника $\triangle ABC$:

• $AC = 3\sqrt{2}$,
• $AB = \sqrt{14}$,
• $BC = 1$.

Убедимся, что данный треугольник существует, используя неравенство треугольника: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей:

1. $AC + AB = 3\sqrt{2} + \sqrt{14} > 1$ (очевидно выполняется);
2. $AB + BC = \sqrt{14} + 1 > 3\sqrt{2}$ (проверим отдельно, это справедливо);
3. $AC + BC = 3\sqrt{2} + 1 > \sqrt{14}$ (тоже выполняется).

Треугольник существует.

Шаг 2: Свойства подобия треугольников

Дан факт: $\triangle KAC \sim \triangle ABC$.

Из подобия треугольников следует:

1. Отношение соответствующих сторон:

   $$\frac{KA}{AB} = \frac{AC}{BC} = \frac{KC}{AC}.$$

   Пусть коэффициент подобия $k = \frac{AC}{BC} = \frac{3\sqrt{2}}{1} = 3\sqrt{2}$.

2. Тогда:

   $$KA = k \cdot AB = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{14},$$ $$KC = k \cdot AC = (3\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2}) = 18.$$

Шаг 3: Угол $\angle KAC$

Из условия: $\angle KAC > 90^\circ$. Это означает, что $\cos \angle KAC < 0$. Но пока мы не используем это условие, займемся вычислением $\cos \angle AKC$.

Шаг 4: Найдём косинус угла $\angle AKC$

Используем векторный метод. Обозначим координаты:

• $A(0, 0)$,
• $C(c, 0)$, где $c = 3\sqrt{2}$,
• $K(k_x, k_y)$ — точка вне треугольника.

Вектор $\vec{AK} = (k_x, k_y)$, а вектор $\vec{KC} = (c - k_x, -k_y)$.

Скалярное произведение: