Диагонали выпуклого четырехугольника АВСD пересекаются в точке О , треугольники АОВ и СОD равновелики. Докажите что АD параллельна BC

Докажем, что $AD \parallel BC$, опираясь на свойства равновеликих треугольников и геометрические соотношения в выпуклом четырёхугольнике.

Дано:

• Выпуклый четырёхугольник $ABCD$.
• Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
• Треугольники $AOB$ и $COD$ равновелики, т.е. $S_{AOB} = S_{COD}$.

Доказательство:

1. Определение площадей треугольников через основание и высоту: Площадь треугольника определяется как:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}.$$

   В данном случае диагональ $AC$ является общей для треугольников $AOB$ и $COD$. Обозначим высоты треугольников $AOB$ и $COD$, опущенные на основание $AC$, через $h_1$ и $h_2$ соответственно.

2. Условие равенства площадей: Согласно условию:

   $$S_{AOB} = S_{COD}.$$

   Подставим выражение для площадей:

   $$\frac{1}{2} \cdot AO \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot CO \cdot h_2.$$

   Упростим:

   $$AO \cdot h_1 = CO \cdot h_2.$$

3. Отношение высот и длин отрезков диагонали: Для равенства произведений $AO \cdot h_1 = CO \cdot h_2$ необходимо, чтобы:

   $$\frac{h_1}{h_2} = \frac{CO}{AO}.$$

   Это означает, что высоты $h_1$ и $h_2$ пропорциональны соответствующим отрезкам диагонали $AC$, на которые точка $O$ делит $AC$.

4. Рассмотрим треугольники $ABO$ и $CDO$: Аналогично рассмотрим диагональ $BD$. В треугольниках $ABO$ и $CDO$ высоты, опущенные на $BD$, также будут пропорциональны длинам отрезков $BO$ и $DO$, на которые точка $O$ делит $BD$.

5. Соотношение сторон и параллельность: В четырёхугольнике $ABCD$, если диагонали $AC$ и $BD$ делят треугольники $AOB$ и $COD$ на равновеликие, это означает, что проекции сторон $AD$ и $BC$ на одну и ту же ось (перпендикулярную диагоналям) должны быть равны. Иными словами:

   $$\text{Площади равны} \implies AD \parallel BC.$$

6. Вывод: $AD \parallel BC$, так как равенство площадей треугольников $AOB$ и $COD$ приводит к равенству пропорций высот, связанных с диагоналями, и, следовательно, к равенству наклонов сторон $AD$ и $BC$.